ਫਰਮੈਟ ਦਾ ਛੋਟਾ ਪ੍ਰਮੇਯ

ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ -  ਫਰਮੈਟ ਦਾ ਛੋਟਾ ਪ੍ਰਮੇਯਫਰਾਂਸੀਸੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਪਿਏਰੇ ਡੀ ਫਰਮੈਟ ਦੇ ਨਾਂ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਸਮੱਗਰੀ ਨੂੰ ਇਕਸਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵੀ ਕਰਾਂਗੇ।

ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਬਿਆਨ

1. ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ

If p ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਸੰਖਿਆ ਹੈ a ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ pਫਿਰ a^p-1 - 1 ਦੁਆਰਾ ਵੰਡਿਆ p.

ਇਹ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ: a^p-1 1 (ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ p).

ਨੋਟ: ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਸਿਰਫ਼ XNUMX ਦੁਆਰਾ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਬਚਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• ਗਿਣਤੀ 15 ਦੁਆਰਾ ਵੰਡਿਆ 5 ਇੱਕ ਬਾਕੀ ਦੇ ਬਗੈਰ.

2. ਵਿਕਲਪਿਕ

If p ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, a ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ, ਫਿਰ a^p ਨਾਲ ਤੁਲਨਾਯੋਗ a modulo p.

a^p ≡ a (ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ p)

ਸਬੂਤ ਲੱਭਣ ਦਾ ਇਤਿਹਾਸ

ਪਿਅਰੇ ਡੀ ਫਰਮੈਟ ਨੇ 1640 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ, ਪਰ ਇਸਨੂੰ ਖੁਦ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਗੋਟਫ੍ਰਾਈਡ ਵਿਲਹੇਲਮ ਲੀਬਨਿਜ਼, ਇੱਕ ਜਰਮਨ ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ, ਤਰਕ ਸ਼ਾਸਤਰੀ, ਗਣਿਤ ਵਿਗਿਆਨੀ, ਆਦਿ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਸ ਕੋਲ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ 1683 ਤੱਕ ਸਬੂਤ ਸੀ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਕਦੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੋਇਆ ਸੀ। ਇਹ ਧਿਆਨ ਦੇਣ ਯੋਗ ਹੈ ਕਿ ਲੀਬਨਿਜ਼ ਨੇ ਖੁਦ ਪ੍ਰਮੇਏ ਦੀ ਖੋਜ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਇਹ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਇਹ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।

ਪ੍ਰਮੇਏ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਸਬੂਤ 1736 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਅਤੇ ਇਹ ਸਵਿਸ, ਜਰਮਨ ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਮਕੈਨਿਕ, ਲਿਓਨਹਾਰਡ ਯੂਲਰ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਫਰਮੈਟ ਦਾ ਛੋਟਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਯੂਲਰ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਏ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਹੈ।

ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ

ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਬਾਕੀ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ 2¹² on 12.

ਦਾ ਹੱਲ

ਆਓ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੀਏ 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਇਸਲਈ, ਫਰਮੈਟ ਦੇ ਛੋਟੇ ਪ੍ਰਮੇਏ ਦੁਆਰਾ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

2¹¹ 2 (ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ 11).

ਇਸ ਲਈ, 2⋅2¹¹ 4 (ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ 11).

ਇਸ ਲਈ ਨੰਬਰ 2¹² ਦੁਆਰਾ ਵੰਡਿਆ 12 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਬਾਕੀ ਦੇ ਨਾਲ 4.