ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਕੀ ਹੈ

ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਗਣਿਤਿਕ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੇ ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ - ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ: ਇਸਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ, ਅਤੇ ਨਾਲ ਹੀ ਵਿਹਾਰਕ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਕਈ ਹੱਲ।

ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ

ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੀਮਾ - ਉਹ ਮੁੱਲ ਜਿਸ ਵੱਲ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਝੁਕਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਸਦਾ ਆਰਗੂਮੈਂਟ ਸੀਮਤ ਬਿੰਦੂ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸੀਮਾ ਰਿਕਾਰਡ:

• ਸੀਮਾ ਆਈਕਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ ਲਿਮ;
• ਹੇਠਾਂ ਇਹ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਰਗੂਮੈਂਟ (ਵੇਰੀਏਬਲ) ਕਿਸ ਮੁੱਲ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਹ x, ਪਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:x→1″;
• ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਖੁਦ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:

  

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸੀਮਾ ਦਾ ਅੰਤਮ ਰਿਕਾਰਡ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ (ਸਾਡੇ ਕੇਸ ਵਿੱਚ):

ਵਰਗਾ ਪੜ੍ਹਦਾ ਹੈ "ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਏਕਤਾ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ".

x→ 1 - ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ "x" ਨਿਰੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਹਿਣ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਬੇਅੰਤ ਏਕਤਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਕਦੇ ਵੀ ਇਸ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ (ਇਹ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ)।

ਫੈਸਲੇ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ

ਦਿੱਤੇ ਨੰਬਰ ਨਾਲ

ਆਓ ਉਪਰੋਕਤ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੀਏ. ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇਕਾਈ ਨੂੰ ਬਦਲੋ (ਕਿਉਂਕਿ x→1):

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨੰਬਰ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (ਜੇਕਰ x ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਸੰਖਿਆ ਵੱਲ ਝੁਕਦਾ ਹੈ)।

ਅਨੰਤਤਾ ਦੇ ਨਾਲ

ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਦਲੀਲ ਬੇਅੰਤ ਵਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਯਾਨੀ, "ਐਕਸ" ਅਨੰਤਤਾ (∞) ਵੱਲ ਝੁਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ:

If x→∞, ਫਿਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਟਾਓ ਅਨੰਤਤਾ (-∞) ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 ਆਦਿ।

ਇਕ ਹੋਰ ਹੋਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਉਦਾਹਰਨ

ਇਸ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਵੀ, ਬਸ ਮੁੱਲ ਵਧਾਓ x ਅਤੇ ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ "ਵਿਵਹਾਰ" ਨੂੰ ਦੇਖੋ।

• ਰਿਸਾਰਾ x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• ਰਿਸਾਰਾ x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• ਰਿਸਾਰਾ x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

ਇਸ ਲਈ, ਲਈ "ਐਕਸ"ਅਨੰਤਤਾ ਵੱਲ ਝੁਕਣਾ, ਫੰਕਸ਼ਨ x² + 3x - 6 ਅਣਮਿੱਥੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਵਧਦਾ ਹੈ.

ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਤਾ ਦੇ ਨਾਲ (x ਅਨੰਤਤਾ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)

ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅੰਸ਼ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਸੰਖਿਆ ਅਤੇ ਵਿਭਾਜਨ ਬਹੁਪਦ ਹਨ। ਜਿਸ ਵਿੱਚ "ਐਕਸ" ਅਨੰਤਤਾ ਵੱਲ ਝੁਕਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ: ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਸੀਮਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੀਏ।

ਦਾ ਹੱਲ

ਅੰਕ ਅਤੇ ਭਾਜ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਅਨੰਤਤਾ ਵੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੋਵੇਗਾ:

ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਰੇ ਇੰਨੇ ਸਧਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹਨ. ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:

1. ਲੱਭੋ x ਅੰਕ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੀ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ (ਸਾਡੇ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਦੋ ਹੈ)।

2. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ x ਭਾਅ ਲਈ ਉੱਚਤਮ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ (ਦੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਵੀ)।

3. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਦੋਨਾਂ ਅੰਕਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਨਾਲ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ x ਸੀਨੀਅਰ ਡਿਗਰੀ ਵਿੱਚ. ਸਾਡੇ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਦੋਵਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ - ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ, ਪਰ ਜੇ ਉਹ ਵੱਖਰੇ ਸਨ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੀ ਡਿਗਰੀ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।

4. ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਸਾਰੇ ਅੰਸ਼ ਜ਼ੀਰੋ ਵੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਜਵਾਬ 1/2 ਹੈ।

ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਤਾ ਦੇ ਨਾਲ (x ਇੱਕ ਖਾਸ ਸੰਖਿਆ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)

ਅੰਕ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਨੋ ਬਹੁਪਦ ਹਨ, ਹਾਲਾਂਕਿ, "ਐਕਸ" ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਸੰਖਿਆ ਵੱਲ ਝੁਕਦਾ ਹੈ, ਅਨੰਤਤਾ ਵੱਲ ਨਹੀਂ।

ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸ਼ਰਤੀਆ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਸ ਤੱਥ ਵੱਲ ਆਪਣੀਆਂ ਅੱਖਾਂ ਬੰਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਭਾਅ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ: ਆਉ ਹੇਠਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭੀਏ।

ਦਾ ਹੱਲ

1. ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਨੰਬਰ 1 ਨੂੰ ਬਦਲੀਏ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ "ਐਕਸ". ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਫਾਰਮ ਦੀ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਤਾ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।

2. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਅੰਕਾਂ ਅਤੇ ਵਿਭਾਜਨ ਨੂੰ ਕਾਰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਗਾੜ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਸੰਖੇਪ ਗੁਣਾ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜੇਕਰ ਉਹ ਢੁਕਵੇਂ ਹਨ, ਜਾਂ।

ਸਾਡੇ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਅੰਕ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਜੜ੍ਹਾਂ (2x² - 5x + 3 = 0) ਨੰਬਰ 1 ਅਤੇ 1,5 ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: 2(x-1)(x-1,5).

ਹਰx–1) ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਸਧਾਰਨ ਹੈ.

3. ਸਾਨੂੰ ਅਜਿਹੀ ਸੋਧੀ ਹੋਈ ਸੀਮਾ ਮਿਲਦੀ ਹੈ:

4. ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਘਟਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (x–1):

5. ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਸੀਮਾ ਦੇ ਅਧੀਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਨੰਬਰ 1 ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ: